三角函数内容规律 RW0zlo
zE0 \n
'
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k
NNu!S
i+AQr*4@
1、三角函数本质: K+o{0/H-&
=L]#77
三角函数的本质来源于定义 4!/S jF
:.bxg9d
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 h%C]
096R.>@bp
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 TM1_o~`xl
3].e9|[8c
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: hl\x]F(LL
D@\JI}
推导: +15`9U6+G
&Y#A}As
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 N mN_c+[
g9ynM6{Cg
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,xX
w^zI^
;#Z=S, lS
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ",H{N5wjRq
- ${}_C)D4
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 B<ai1'g0)
d/KIzF
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
X)J78;A
f^nLLE*Q`
[1] x1R"ZL
-AgIkWkI
两角和公式 "T%VMfh
i9,^p4e`
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S1)xu!/4
<MB_8j
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB |(n@4h,
wiwVSk
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB YuC/vM|EP
gMT Pa0
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB j'Q5{~r
dB 5,}
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ?`+%&F{
^pEd.:k/6
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5BwG{a+et7
bb'a%
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 5nTZt@^C
E7M$D
(
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dh2.;
=By,# Vo0M
倍角公式 C7^*$tq
2!jKaFoF
Sin2A=2SinA•CosA % d H>M
O =0c?:
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D=Hz$
pb
yIH(I
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) x_9FWYfA,F
{0 t3q@g6
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) rwU&W+Ze!
MQ#S
vRJ
三倍角公式 N:L reRR
B59]YZ
as8}'/f=
vvao`o6
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) v" q<
,c=cH.:e
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,
20@Akr?
7{renZB_1
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) HOe$wh.l
bJ/K
三倍角公式推导 wB39)
h{o*<*x0|
sin3a |2h1.g?L
\Z'h K
=sin(2a+a)
$
s
q7]0zNk
=sin2acosa+cos2asina Uh4dco/t
s,m.*-~E
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }D4F5-aL
s5 O9mzd7
=3sina-4sin³a }b}]*nl,
Rt8i@##w!
cos3a "q ;X7G
otad'_
~FS
=cos(2a+a) Wm)"Fm
>tpnH6*M
=cos2acosa-sin2asina 0"O_C[-
aOh#B6
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa o#
`)Y)2
c0/fz?cT3
=4cos³a-3cosa 'S[hOl-
d[[g39
sin3a=3sina-4sin³a ]y
S=sf]_Q
,>{?M9B
=4sina(3/4-sin²a) o
z &@=
CQ=W|78
=4sina[(√3/2)²-sin²a] }CQ[tJik>
CD0M5umm2+
=4sina(sin²60°-sin²a)
v_2l.|G
pl ,
CNh
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m*4-RqD4
!1diq
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :q -PW5[Y
@R>dJC.
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6c
]$'d
3CN3!e^Ao
cos3a=4cos³a-3cosa 7lpz@a7=
Bv~OE'>*"&
=4cosa(cos²a-3/4) $n~"[!b@
0@!-|c^
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \3B]c % j4
A.mi#O1
=4cosa(cos²a-cos²30°) $p#N:Ic6
W6x
oj=8<
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Gil3qo\
nBK(2s\
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p!jiJxwd
2e=>3oq3
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Utjkdj[l
`:/z4
pX
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] STi0W(
Um+P[
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] lD<.v5ZK
wqd 5BvE
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :[jr VY
BD.P+:ymC
上述两式相比可得 mNA:DSmo}@
5![ghq
F
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) MXM?Et8
mvZ)t7+Qi
半角公式 SO+E5w+
B^br6.>
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); XG+<BUpV
q/wx4%!p
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E!Oo Fcz,
"yMj-J+|'
和差化积 *ua.%>
{;
[AU+<]f
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /!4O2T6fM
D<G+S(c
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Te|/GSK
%(hU|
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +(XDIO8q$|
!UaoI=^`
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $Q;'0Q(c@8
M87|{3w`
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) fA6/XaDr
)=/3855
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 98V9G+
~BpZ@a3%(
积化和差 p\T
{MkR
9`v*sU?*
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q"b+'||N
y`S^ZfJ1
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6Z-vs
5!9pb a
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ESuoVaLQ!'
<z/gv${V^
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |qY6m[|EY
F/yr;mFq
诱导公式 ]u1fh8h&6
r]CgSA?q
sin(-α) = -sinα Xf_PeSA
`kthymaP
cos(-α) = cosα _;V]x4W
Ia{<_
sin(π/2-α) = cosα +dgGg1
&mux79 N
cos(π/2-α) = sinα |`ebMdq
;4?_kj
sin(π/2+α) = cosα $ ;0i<
xJU'[dMU
cos(π/2+α) = -sinα f6O!L]46
=WO v9SIo
sin(π-α) = sinα :N M29~><C
\z'{{
cos(π-α) = -cosα z h+bK$vKm
$o6Lr`jQ%
sin(π+α) = -sinα fkxy;K4g
33"bfJV
cos(π+α) = -cosα \
v`qV)
1tyX27J
tanA= sinA/cosA M+HtNL>
.[:v4)-
tan(π/2+α)=-cotα :n44AzF0S
S@CJklRI
tan(π/2-α)=cotα .S
e[\DL
OHkp:*y
tan(π-α)=-tanα /*glS5'`G
9=Ca]:*k
tan(π+α)=tanα 1B$BXzZ|
=r0dVGd)
万能公式 0}@!?,z
MmMRL|.
wOiNa9G
]d?@!7GJ
其它公式 g<7f_F=`
_PCylM7|
(sinα)^2+(cosα)^2=1 a^<fwQ
[g`M-sca
1+(tanα)^2=(secα)^2 '=jAaV
G 4"Q$ZNG
1+(cotα)^2=(cscα)^2 idW@)7J9
%K(CQ4%Z
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 kP
1&osz
93q'fZD$
对于任意非直角三角形,总有 CwpmH`p
Iu)pC]
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NnQlGa6O
!bFAVnoJt
证: ]&{YT
g !)"_
;u%
A+B=π-C +mrQa 2@v
f87cI@W:'+
tan(A+B)=tan(π-C) Fh?bX{$
/ jz]ZM '
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) qk{Uy^rV
Zz4Ai(<{
整理可得
V4$i }
6qak!
s3
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i0yyf>Ghi
$Hq[+v
B^
得证 Rn8)~P+a
|qP07Bf5U
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xuQ_ub?U
KKk1c';l
其他非重点三角函数 +/=1G[
@oLV)_K
csc(a) = 1/sin(a) qU5/.zi
5B-@In?EK
sec(a) = 1/cos(a) YAFvD:=t
?rPr\.K<
H<NyAh(
9%Ht">,pxj
双曲函数 B \<xiA3$
9^Nv |t
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :x;h\i#U&
?5^$CM
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Bhwp]zn/
T0r%{~&b
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) jE#.e=4]1
8?G{?!TX
公式一: ?rvY ^xO
pKb"k%S]
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: uORFQ6W8
oJQ%^X"
sin(2kπ+α)= sinα FM@njM3p
]X::DH
cos(2kπ+α)= cosα G\XvM'?
k [7YXB<)C
tan(kπ+α)= tanα J^S-
w;
f0`llr*L
cot(kπ+α)= cotα 4?&enO- |