三角函数内容规律 [t623e+1#
)^X2 JX
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. =S@M4 $d
\xeBfg
x
1、三角函数本质: GuaW? \@?
,P.>Q{b
三角函数的本质来源于定义 pAT:3ymp3
ZRV"?tm@%
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 KR8T)
<*A7K{
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ]60LQAWv
c&%h- n
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: wHg!74 I$
}"IHSUt,y
推导: W&"2 f_bz
*HfiV
*
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 IU/$zlD
Zr T@p^3h
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
}.X=fhn
^i3l`Cz
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) djhG3I\.
/YQBQe
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0_(D\e4G
gr$*.p
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) "d2pZg^bj~
+@$6Qr6
[1] ^d+B1rhl
hqioA- (<
两角和公式 6(lQ0 ?0Y
W&BMmV4bt
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {IXNM
R
4Um?L!UIf
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 'dEE#]i
EUTY!37mj
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB M-(9#x2
K#h4QH;9
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]%XV|UfmLv
;(tAA
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) EDl K/`~Z/
!\}DJ3y)(
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) VW+DkMw
$m>wiQ
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) Fi_juD. a
y\"\N(G
k
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) FBEdl
BGmJ>Qq[
倍角公式 =x"a:e*N
H^Go;9~."|
Sin2A=2SinA•CosA ;XGqb'J+i
.=Qlggg>7
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 T0G;<
a;|4VEfAk
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) XO"t-
<l7E>0
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) bvvi4;o)a
,w8(-7
三倍角公式 |AhUSua}g
/m0; Q&
1en(pXd
'.'R$kau
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) :(@Olqa
q
a+tJ_+C<
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -%0A2}M
@X3hq>3'
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) KOdX8zw
$ V(U
三倍角公式推导 *wcaV;*&
{ya"._pb5
sin3a A!"u9DB
7v0qa)B
=sin(2a+a) &`YRU6"F2
)nQ':/aH
=sin2acosa+cos2asina K16Vf Ri
x\2;k!k|
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O~+7G6q
:r)
l&6-r
=3sina-4sin³a lM}vx?*I
>-ps})px
cos3a KfHtJ;M28
z"Y{P$so
=cos(2a+a) 98${RpUp
)]:uI<%5
=cos2acosa-sin2asina 6iE~U
Jc__Li=
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &Blwwd;2\
e7TG1$>
=4cos³a-3cosa 1rN/#70x
od(2}'zj
sin3a=3sina-4sin³a n\VB\Cm1
t,z]p`,M^l
=4sina(3/4-sin²a) d8\d*J[
D{hXe(0$QF
=4sina[(√3/2)²-sin²a] Maq+C=
w ! ~sG?
=4sina(sin²60°-sin²a) =~p&.!
}Vw7=rJC
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) j9EWE*
(jjhDcZ)}
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] K{MDt vD
A7'kl
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) N},?!)/T
* E ._ %+
cos3a=4cos³a-3cosa -CjyY>;a
LkT0'b
=4cosa(cos²a-3/4) K|X8g3D
gITiJI]L
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .l>aePT0'
-<L9\YG_`[
=4cosa(cos²a-cos²30°) 7'L
n<
G/VE^
:
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \
^S/`sNe
Kr y9
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Op7gFf"u<
iHl'R9
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Z7{Y_vgx"
1B`"|}
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }|cb |P
2-7k0
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zr_3iAd7^
QC82Hpu
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) u4UuRZ>
ZDDJ(44
上述两式相比可得 KkBYLI18E
T1Lm!@D
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _ojS(~6I
TTe9'C5
半角公式 ra
APgz-
'PP}@|Ll
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?_7Tt"z
]vSu&+F
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. q KR.<w
1Y-C&.G
和差化积 D%1?o[Y=
wp-9n=2Nu
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,"U
:t_Y5
J4Rm&:8_
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }dp[eqa_L
{}%23irt
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *k!Xjx? ^:
dODO;b$~dL
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
[t
)vo`
|2^87
U<^
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) x5K$0Oyaa
65 l@DP;Sr
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) muf3jqkT
n16pCw!
积化和差 9T6g~k
vu\K]$lB
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @+K:rBC
kdOx3#6e
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^w.lQ<1Q,
Rh_c8k&t
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B<P:/RZp
( ubCKe!
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] g?QvB$k5E
Tdv]V\JN
诱导公式 ;!F+#bO%+|
ibdMyD0Y
sin(-α) = -sinα QUrf)`f ZK
#slYr Q=
cos(-α) = cosα >f]
?=
+few8PJ
sin(π/2-α) = cosα p|h ((EG
<03{w_oJ
cos(π/2-α) = sinα ?z}9j
T|%;#/&
sin(π/2+α) = cosα !^m_G'3Gm
Z{uu5(U
cos(π/2+α) = -sinα K81cg ">
z~~}U
sin(π-α) = sinα II5!eMhi
o@Tv#i^Eb
cos(π-α) = -cosα 29ES$5Dg
nXj6WN
sin(π+α) = -sinα ?orY>uN{<
+:j$yK'
cos(π+α) = -cosα 7Y !uY/
J49k27*1a!
tanA= sinA/cosA cH,$c9
S=)Hx~s
tan(π/2+α)=-cotα ^=DS|#
oha_#7?v[
tan(π/2-α)=cotα Y$R}3>gf>
V WQg7}
tan(π-α)=-tanα <[]3:`9
/A 8t>'
tan(π+α)=tanα ;[~>/+
Cq$p
万能公式 0>v4^@8
(}c`-ycHI
D__nB
xLZ},b9I=/
其它公式 @8T=}F
"1i6
(sinα)^2+(cosα)^2=1 '~i
&n
T-}
W869_-cl
1+(tanα)^2=(secα)^2 [IrUqymO
qG3bvLm#|
1+(cotα)^2=(cscα)^2
k#
R4mQm
Lz+$`uS]J
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 <#?xUVV
G0EE |6xBB
对于任意非直角三角形,总有 N&_,=24t
p2 *nJY
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (XEG8Sv.
zqiU 3(
证: -X7oln-
:(<fS +G%)
A+B=π-C GPe[!F
q1pf0NtB(
tan(A+B)=tan(π-C) fRdUa5?&
qwE!6!h
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :jBM;| ,J
3H)Gpl,,
整理可得 p[BSo3M{Rd
{cO2qt.
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )XTN%5 M
laH~|sQ
得证 GnXWI7 vW
Y?v
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 rRhEN@X&
La&m{@<
其他非重点三角函数 Muo:nO%-
~k'CC]=
csc(a) = 1/sin(a) \'5BQ4%V
t"aZ9M
sec(a) = 1/cos(a) 2? (s}t0
YAghO[,-_p
FDf_UK-D
L.ET!7oGL
双曲函数 /P\Ig0Y=V
`IhtH)K
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 X@MHFJ!
(=KH<q:lr
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4HCP?y#gc
o IBt:
{
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b2,FxU&6
K5cy>oYN
公式一: <hxNVl&1
^`T$9-l~j
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: EeWc4~
#,`B*YJw
sin(2kπ+α)= sinα /9 7y`L
p>vl/
cos(2kπ+α)= cosα /
tbs@b
CclBu
tan(kπ+α)= tanα .k=ydJDc
jz;xB
cot(kπ+α)= cotα Q>NL}n_
Pctt&)C
公式二: go=@T.w(
C=|qzw4Z
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: R$&5azN
5cM0<-;^^
sin(π+α)= -sinα .pO
q2)^
MjG9
I#x
cos(π+α)= -cosα Z3\ Mv~
%WZf`Gc
tan(π+α)= tanα |=/)',)s
Ak0?efq)
cot(π+α)= cotα Yeg?X4vL
Qo*` Sn
公式三: 3]IeO&{D
NT_@"&3
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: !?8:
H8{f
sin(-α)= -sinα }ZL6fI=u
]]1lRmFd
cos(-α)= cosα qJ:&'n
U'|8#
tan(-α)= -tanα *R=d9{\=
"\;,t+vK
cot(-α)= -cotα o [};n
Mrk9 'Qm
公式四: pNf0Wm0a3
`}XNmFR[#
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ZV-gdNgK:
-
E>;d2Z;
sin(π-α)= sinα c=
qu,1
yp33:Je\V
cos(π-α)= -cosα k-q4
WTg *.sw
tan(π-α)= -tanα $.<&re$
G6
5i?
cot(π-α)= -cotα 01c]!qII
h&;cy=
公式五: g"N{GRd-7
dQk7
NN
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: b|=z#zES+
&h$6=sh:z
sin(2π-α)= -sinα +;r_[mjI
Y[N-#
cos(2π-α)= cosα u}x%s,]D~g
Kn#MU*
tan(2π-α)= -tanα
iN xe<
bEz0-O[R
cot(2π-α)= -cotα wAigjHtE
:zs>"<"G
公式六: ["} Qm/8
+hM0$ $-
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: cpK*R:Pu
^~i}vcD`
sin(π/2+α)= cosα $nW7Lt
o+C@dc
cos(π/2+α)= -sinα EO /L
IUV.=
tan(π/2+α)= -cotα <@S
ErH
to'
cot(π/2+α)= -tanα H%Gs1d#u
sKU7LTvK
sin(π/2-α)= cosα Hh
{}IbL0
+\?fe+iGC
cos(π/2-α)= sinα TGJ{s -$
_meovfY"q&
tan(π/2-α)= cotα ^KW00`E;0N
}=.'=K\ln@
cot(π/2-α)= tanα .Ni(9tL<
/9*`$YQ
sin(3π/2+α)= -cosα gWH{$w
a%pT|i,
cos(3π/2+α)= sinα ik/DY.A
1)<A-<
tan(3π/2+α)= -cotα fYW'07qbY>
vd:m J
cot(3π/2+α)= -tanα Xv<Zr}n@
-E<AU",(
sin(3π/2-α)= -cosα I.)l`y
]+c9jY
cos(3π/2-α)= -sinα =1oej1_`
z|,vh4*
tan(3π/2-α)= cotα /m?OGfH0
;:$kf|
cot(3π/2-α)= tanα ]rv!5EwBZ(
ePo!Jw?d
(以上k∈Z) gP[t<[R
\VTc@
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 VCq2b|CwB
55{G,E
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = =;1M%a
jW++k#`
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (}
Ll5_K
C[
dtNw
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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