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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 RW0zlo  
zE0 \n '  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k NNu!S  
i+AQr*4@  
　　1、三角函数本质： K+o{0/H-&  
=L]#77  
　　三角函数的本质来源于定义 4!/SjF  
:.bxg9d  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 h%C]  
096R.>@bp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 TM1_o~`xl  
3].e9|[8c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： hl\x]F(LL  
D@\JI}  
　　推导： +15`9U6+G  
&Y#A}As  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 N mN_c+[  
g9ynM6{Cg  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,xX w^zI^  
;#Z=S,lS  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ",H{N5wjRq  
- ${}_C)D4  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 B<ai1'g0)  
d/KIzF  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X)J78;A  
f^nLLE*Q`  
　　[1] x1R"ZL  
-AgIkWkI  
　　两角和公式 "T%VMfh  
i9,^p4e`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S1)xu!/4  
<MB_8j  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  |(n@4h,  
wiwVSk  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB YuC/vM|EP  
gMTPa0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB j'Q5{~r  
dB 5,}  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ?`+%&F{  
^pEd.:k/6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5BwG{a+et7  
bb'a%  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5nTZt@^C  
E7M$D (  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dh2.;  
=By,# Vo0M  
倍角公式 C7^*$tq  
2!jKaFoF  
　　Sin2A=2SinA•CosA % d H>M  
O =0c?:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D=Hz$ pb  
yIH(I  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） x_9FWYfA,F  
{0 t3q@g6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rwU&W+Ze!  
MQ#S vRJ  
三倍角公式 N:L reRR  
B59]YZ  
　　 as8}'/f=  
vvao`o6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) v" q<  
,c=cH.:e  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) , 20@Akr?  
7{ren ZB_1  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) HOe$wh.l  
bJ/K  
三倍角公式推导 w B39)  
h{o*<*x0|  
　　sin3a |2h1.g?L  
\Z'hK  
　　=sin(2a+a)   $   
s q7]0zNk  
　　=sin2acosa+cos2asina U h4dco/t  
s,m.*-~E  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }D4F5-aL  
s5O9mzd7  
　　=3sina-4sin³a }b}]*nl,  
Rt8i@##w!  
　　cos3a "q ;X7G  
otad'_ ~FS  
　　=cos(2a+a) Wm)"Fm  
>tpnH6*M   
　　=cos2acosa-sin2asina 0"O _C[-  
aOh#B6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa o# `)Y)2  
c0/fz?cT3  
　　=4cos³a-3cosa 'S[hOl-  
d[[g39  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]y S=sf]_Q  
,>{?M9B  
　　=4sina(3/4-sin²a) o z&@=   
CQ=W|78  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] }CQ[tJik>  
CD0M5umm2+  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) v_2l.|G  
pl , CNh  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m*4-RqD4  
!1diq  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :q-PW5[Y  
@R>dJC.  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6c ] $'d  
3CN3!e^Ao  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7lpz@a7=  
Bv~OE'>*"&  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $n~"[!b@  
0@!-|c ^  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \3B]c% j4  
A.mi#O1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $p#N:Ic6  
W6x oj=8<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Gil3qo\  
nBK( 2s\  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p!jiJxwd  
2 e=>3oq3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Utjkdj[l  
`:/z4 pX  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] STi0W(  
Um+P[  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] lD<.v5Z K  
wqd5BvE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :[ jr VY  
BD.P+:ymC  
　　上述两式相比可得 mNA:DSmo}@  
5![ghq F  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) MXM?Et8  
mvZ)t7+Qi  
半角公式 SO+E5w+  
B^br6.>  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); XG+<BUpV  
q/wx4%!p  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. E!OoFcz,  
"yMj-J+|'  
和差化积 *ua.%> {;  
[AU+<]f  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /!4O2T6fM  
D<G+S(c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Te|/GSK  
%(hU|  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +(XDIO8q$|  
!UaoI=^`  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $Q;'0Q(c@8  
M87|{3w`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) fA6/XaDr  
)=/3855  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 98V9G+  
~BpZ@a3%(  
积化和差 p\T {MkR  
9`v*sU?*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q"b+'||N   
y`S^ ZfJ1  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6Z- vs  
5!9pb a  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ESuoVaLQ!'  
<z/gv${V^  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |qY6m[|EY  
F/yr;mFq  
诱导公式 ]u1fh8h&6  
r]CgSA?q  
　　sin(-α) = -sinα Xf_PeSA  
`kthymaP  
　　cos(-α) = cosα _;V]x4W   
Ia{<_  
　　sin(π/2-α) = cosα +dgGg1  
&mux79N  
　　cos(π/2-α) = sinα |`ebMdq  
;4?_kj  
　　sin(π/2+α) = cosα $ ;0i<  
xJU'[dMU  
　　cos(π/2+α) = -sinα f6O!L]46  
=WO v9SIo  
　　sin(π-α) = sinα :N M29~><C  
\z'{{  
　　cos(π-α) = -cosα z h+bK$vKm  
$o6Lr`jQ%  
　　sin(π+α) = -sinα fkxy;K4g  
33"bfJV  
　　cos(π+α) = -cosα \ v`qV)  
1tyX27J  
　　tanA= sinA/cosA M+HtNL>  
.[:v4)-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα :n44AzF0S  
S@CJklRI  
　　tan（π/2－α）＝cotα .S e[\DL  
OHkp:*y  
　　tan（π－α）＝－tanα /*glS5'`G  
9=Ca]:*k  
　　tan（π＋α）＝tanα 1B$BXzZ|  
=r0dVGd)  
万能公式 0}@!?,z  
MmMRL|.  
　　 wOiNa9G  
]d?@!7GJ  
其它公式 g<7f_F=`  
_PCylM7|  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 a^< fwQ  
[g`M-sca  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 '=jAaV  
G 4"Q$ZNG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 idW@)7J9  
%K(CQ4%Z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 kP 1&osz  
93q'fZD$  
　　对于任意非直角三角形,总有 CwpmH`p  
Iu)pC]  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NnQlGa6O  
!bFAVnoJt  
　　证: ]&{YT  
g!)"_ ;u%  
　　A+B=π-C +mrQa 2@v  
f87cI@W:'+  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Fh?bX{$  
/jz]ZM '  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) qk{Uy^rV  
Zz4Ai(<{  
　　整理可得 V4$i}  
6qak! s3  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i0yyf>Ghi  
$Hq[+v B^  
　　得证 Rn8)~P+a  
|qP07Bf5U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xuQ_ub?U  
KKk1c';l  
其他非重点三角函数  +/=1G[  
@oLV)_K  
　　csc(a) = 1/sin(a) qU5/.zi  
5B-@In?EK  
　　sec(a) = 1/cos(a) YAFvD:=t  
?rPr\.K<  
　　 H<NyAh(  
9%Ht">,pxj  
双曲函数 B\<xiA3$  
9^Nv |t  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :x;h\i#U&  
?5^$CM  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Bhwp]zn/  
T0r%{~&b  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) jE#.e=4]1  
8?G{?!TX  
　　公式一： ?rvY ^xO  
pKb"k%S]  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： uORFQ6W8  
oJQ%^X"  
　　sin（2kπ＋α）= sinα FM@njM3p  
]X::DH  
　　cos（2kπ＋α）= cosα G\XvM'?  
k [7YXB<)C  
　　tan（kπ＋α）= tanα J^S- w;  
f0`llr*L  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4 ?&enO-  
!&,pTJ4'  
　　公式二： NQ\P_  
CO]Pe t  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： (s7PVE;j  
]cSZ3EC$|  
　　sin（π＋α）= -sinα !:gV[  
sml{\X"M  
　　cos（π＋α）= -cosα K)88 B]s4  
]"73QPY,  
　　tan（π＋α）= tanα >+@z12&c  
,K\A|J[jN  
　　cot（π＋α）= cotα nhO;*FQ$  
:1mey^}n  
　　公式三： P tLXDH  
~P<* d 9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： %M0c-*w  
f*C. f3  
　　sin（-α）= -sinα !p B8,KqS/  
^"XW/-Du  
　　cos（-α）= cosα bz( {hrE  
^:?-,0  
　　tan（-α）= -tanα rzd=G:HC  
NM"39^x%^  
　　cot（-α）= -cotα ]c.rDt &S  
ma{$BfH,  
　　公式四： ``P}T#:d  
@t58L%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 1BS,T"s\  
QU6ii}.(7  
　　sin（π-α）= sinα -l2y#K)D  
/0Khq0  
　　cos（π-α）= -cosα Dqv, Qb  
Tm%*j?5MB  
　　tan（π-α）= -tanα : W0% rQ  
,*nRJ6ui  
　　cot（π-α）= -cotα cd$z>u3`T  
_4C2XB=  
　　公式五： 7>la_U X  
? Fx>uB?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ($5gL mW^  
=I.[ J_,K  
　　sin（2π-α）= -sinα OymZ6Wzo  
9LX~fu>=b  
　　cos（2π-α）= cosα g; nK-  
~)8[#Q5ZF  
　　tan（2π-α）= -tanα 7l ,5Z'  
GVO8~%\  
　　cot（2π-α）= -cotα ({hN#5lbz  
ib%^sxKx  
　　公式六： bII?[(* :  
mx06Up  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： kq}'Hi6>  
-|Na-H'  
　　sin（π/2+α）= cosα iBNg?27?  
9; _Tuui  
　　cos（π/2+α）= -sinα )kKc]n  
af6Pnv BO  
　　tan（π/2+α）= -cotα )~a(n"m  
"bm?70  
　　cot（π/2+α）= -tanα t 68Ac)o8|  
'kV'{{0  
　　sin（π/2-α）= cosα d$`G   
Xfno_n\I  
　　cos（π/2-α）= sinα ~E!7< ?   
?m8HKc  
　　tan（π/2-α）= cotα &"T6nD<'6  
E=i]Q{_"#  
　　cot（π/2-α）= tanα %A #,WblO\  
m+P$D,Hz  
　　sin（3π/2+α）= -cosα v_i6?bdR6  
5CYg''-O8I  
　　cos（3π/2+α）= sinα +Sug[I-dW  
.HUNGay  
　　tan（3π/2+α）= -cotα t~Gg6^  
Pz |v=Fm$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  >0UGo  
7 qo6z3  
　　sin（3π/2-α）= -cosα m2d%Kg~IF  
S'=e.%sN5  
　　cos（3π/2-α）= -sinα >A}Bm0^L]  
1vehA[2[}  
　　tan（3π/2-α）= cotα EBI&ABU  
# " UE  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2+Q2NH  
6O"()6;  
　　(以上k∈Z) TVSV.+-  
l/M&+ U#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^ jJ\1  
Q24A7IG  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = WNLmciHI  
).Om}c p  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } EKhW4Q&7 e  
e;} ]LSe G  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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