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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 [t623e+1#  
)^X2 JX  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. =S@M4$d  
\xeBfg x  
　　1、三角函数本质： GuaW?\@?  
,P.>Q{b  
　　三角函数的本质来源于定义 pAT:3ymp3  
ZRV"?tm@%  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 KR8T)  
 <*A7K{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]60LQAWv  
c&%h- n  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wHg!74 I$  
}"IHS Ut,y  
　　推导： W&"2f_bz  
*HfiV *  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  IU/$zlD  
Zr T@p^3h  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }.X=fhn  
^i3l`Cz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) djhG 3I\.  
/ YQBQe  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0_(D\e4G  
gr$*.p  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） "d2pZg^bj~  
+@ $6Qr6  
　　[1] ^d+B1rhl  
hqioA- (<  
　　两角和公式 6(lQ0?0Y  
W&BMmV4bt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {IXNM R  
4Um?L!UIf  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  'dEE#]i  
EUT Y!37mj  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB M-(9#x2  
K#h4QH;9  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]%XV|UfmLv  
;(t AA  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) EDl K/`~Z/  
!\}DJ3y)(  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) VW+DkMw  
$m> wiQ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Fi_juD. a  
y\"\N(G k  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) FBEdl  
BGmJ>Qq[  
倍角公式 =x"a:e*N  
H^Go;9~."|  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;X Gqb'J+i  
.=Qlggg>7  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 T0G;<   
a;|4VEfAk  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） XO"t-  
<l7E>0  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） bvvi4;o)a  
,w8(-7  
三倍角公式 |AhUSua}g  
/m0;Q &  
　　 1en(pXd  
'.'R$kau  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  :(@Olqa  
q a+tJ_+C<  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -%0A2}M  
@X3hq>3'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) KOdX8 zw  
$ V (U  
三倍角公式推导 *wcaV;*&  
{ya"._pb5  
　　sin3a A!"u9DB  
7v0qa)B  
　　=sin(2a+a) &`YRU6"F2  
)nQ':/aH  
　　=sin2acosa+cos2asina K16VfRi  
x\2;k!k|  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O~+7G6q  
:r) l&6-r  
　　=3sina-4sin³a lM}vx?*I  
>-ps})px  
　　cos3a KfHtJ;M28  
z"Y{P$so  
　　=cos(2a+a) 98 ${RpUp  
)]:uI<%5  
　　=cos2acosa-sin2asina 6i E~U  
Jc__Li=  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &Blwwd;2\  
e7TG1$>  
　　=4cos³a-3cosa 1rN/#70x  
od(2}'zj  
　　sin3a=3sina-4sin³a n\VB\Cm1  
t,z]p`,M^l  
　　=4sina(3/4-sin²a) d8\d*J[  
D{hXe(0$QF  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Maq+C=  
w ! ~sG?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) =~p& .!  
}Vw7=rJC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) j9EWE*  
(jjhDcZ)}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] K{MDt vD  
A7'kl  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) N},?!)/T  
* E ._ %+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -CjyY>;a  
LkT0'b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) K|X8g3D  
gITiJI]L  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .l>aePT0'  
-<L9\YG_`[  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7'L n<  
G/VE^ :  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \ ^S/`sNe  
Kr y9  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Op7gFf"u<  
iHl'R9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Z7{Y_vgx"  
1B`"|}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }|cb | P  
2-7k0  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zr_3iAd7^  
QC8 2Hpu  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) u4UuRZ>  
ZDDJ(44  
　　上述两式相比可得 KkBYLI18E  
T1Lm!@D  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _ojS(~6I  
T Te9'C5  
半角公式 ra APgz-  
'PP}@|Ll  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?_7Tt"z  
] vSu&+F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. qKR.< w  
1Y-C&.G  
和差化积 D%1?o[Y=  
wp-9n=2Nu  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,"U :t_Y5  
J4Rm&:8_  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }dp[eqa_L  
{}%23irt  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *k!Xjx? ^:  
dODO;b$~dL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [t )vo`  
|2^87 U<^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) x5K$0Oyaa  
65 l@DP;Sr  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) muf3jqkT  
n16pC w!  
积化和差 9T6 g~k  
vu\K]$lB  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @+K: rBC  
kdOx3#6e  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ^w.lQ<1Q,  
Rh_c8k&t  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B<P:/RZp  
(ubCKe!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] g?QvB$k5E  
Tdv]V\JN  
诱导公式 ;!F+#bO%+|  
ibdMyD0Y  
　　sin(-α) = -sinα QUrf)`f ZK  
#slYr Q=  
　　cos(-α) = cosα >f] ?=  
+few8PJ  
　　sin(π/2-α) = cosα p|h ((E G  
<03{w_oJ  
　　cos(π/2-α) = sinα ?z}9j  
T|%;#/&  
　　sin(π/2+α) = cosα !^m_G'3Gm  
Z{uu5(U  
　　cos(π/2+α) = -sinα K81cg ">  
z~~}U  
　　sin(π-α) = sinα II5!eMhi  
o@Tv#i^Eb  
　　cos(π-α) = -cosα 29ES$5Dg  
nX j6WN  
　　sin(π+α) = -sinα ?orY>uN{<  
+:j$yK'  
　　cos(π+α) = -cosα 7Y!u Y /  
J49k27*1a!  
　　tanA= sinA/cosA cH,$c9  
S=)Hx~s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^=DS| #  
oha_#7?v[  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y$R}3>gf>  
VWQg7}  
　　tan（π－α）＝－tanα <[]3:`9  
/A8t>'  
　　tan（π＋α）＝tanα ;[~>/+  
C q$p  
万能公式 0>v4^@8   
(}c`-ycHI  
　　 D__nB  
xLZ},b9I=/  
其它公式 @8T=}F  
"1i 6  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '~i &n T-}  
W869_ -cl  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [IrUqymO  
qG3bvLm#|  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 k# R4mQm  
Lz+$`uS]J  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 <#?xUVV  
G0EE |6xBB  
　　对于任意非直角三角形,总有 N&_,=24t  
p2 *nJY  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (XEG8Sv.  
zqiU3(  
　　证: -X7oln-  
:(<fS +G%)  
　　A+B=π-C GPe[!F   
q1pf0NtB(  
　　tan(A+B)=tan(π-C) fRdUa5?&  
qwE!6!h  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :jBM;| ,J  
3H)Gpl,,  
　　整理可得 p[BSo3M{Rd  
{cO2qt.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )XTN%5 M  
laH~|sQ  
　　得证 GnXWI7 vW  
 Y?v  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 rRhEN@X&  
La&m{@<  
其他非重点三角函数 Muo:nO%-  
~k'CC]=  
　　csc(a) = 1/sin(a) \'5BQ4%V  
t"aZ9M  
　　sec(a) = 1/cos(a) 2? (s}t0  
YAghO[,-_p  
　　 FDf_UK-D  
L.ET!7oGL  
双曲函数 /P\Ig0Y=V  
`IhtH)K  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 X@ MHFJ!  
(=KH<q:lr  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4HCP?y#gc  
o IBt: {  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b2,FxU&6  
K5cy>oYN  
　　公式一： <hxNVl&1  
^`T$9-l~j  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： EeWc4~  
#,`B*YJw  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /9 7y`L  
p>vl/  
　　cos（2kπ＋α）= cosα / tbs@b  
CclBu  
　　tan（kπ＋α）= tanα .k=ydJDc  
jz;xB  
　　cot（kπ＋α）= cotα Q>NL}n_  
Pctt&)C  
　　公式二： go=@T.w(  
C=|qzw4Z  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： R$&5az N  
5cM0<-;^^  
　　sin（π＋α）= -sinα .pO q2)^  
MjG9 I#x  
　　cos（π＋α）= -cosα Z3\  Mv~  
%WZf `Gc  
　　tan（π＋α）= tanα |=/)',)s  
Ak0?efq)  
　　cot（π＋α）= cotα Yeg?X4vL  
Qo*`Sn  
　　公式三： 3]IeO&{ D  
NT_@"&3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !?8:  
H8{f  
　　sin（-α）= -sinα } ZL6fI=u  
]]1lRmFd  
　　cos（-α）= cosα qJ:&'n  
 U'|8#  
　　tan（-α）= -tanα *R=d9{\=  
"\;,t+vK  
　　cot（-α）= -cotα o [};n  
Mrk9'Qm  
　　公式四： pNf0Wm0a3  
`}XNmFR[#  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ZV-gd NgK:  
- E>;d2Z;  
　　sin（π-α）= sinα c= qu,1  
yp33:Je\V  
　　cos（π-α）= -cosα k-q4  
WTg*.sw  
　　tan（π-α）= -tanα $.<&r e$  
G6 5i?  
　　cot（π-α）= -cotα 01c]!qII  
h&;&#cy=  
　　公式五： g"N{GRd-7  
dQk7 NN  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： b|=z#zES+  
&h$6=sh:z  
　　sin（2π-α）= -sinα +;r_[mjI  
 Y[N-#  
　　cos（2π-α）= cosα u}x%s,]D~g  
Kn#MU*  
　　tan（2π-α）= -tanα iNxe<  
bEz0-O[R  
　　cot（2π-α）= -cotα wAigjHtE  
:zs >"<"G  
　　公式六： ["} Qm/8  
+hM0$$-  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： cpK*R:Pu  
^~i}vcD`  
　　sin（π/2+α）= cosα $nW7Lt  
o +C@dc  
　　cos（π/2+α）= -sinα EO/L  
IUV.=  
　　tan（π/2+α）= -cotα  <@S ErH  
to'  
　　cot（π/2+α）= -tanα H%Gs1d#u  
sKU7LTvK  
　　sin（π/2-α）= cosα Hh {}IbL0  
+\?fe+iGC  
　　cos（π/2-α）= sinα TGJ{s -$  
_meovfY"q&  
　　tan（π/2-α）= cotα ^KW00`E;0N  
}=.'=K\ln@  
　　cot（π/2-α）= tanα .Ni(9tL<  
/9*`$YQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα gWH{$w  
a%pT|i,  
　　cos（3π/2+α）= sinα ik /DY.A  
1)<A- <  
　　tan（3π/2+α）= -cotα fYW'07qbY>  
vd:m J  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Xv<Zr} n@  
-E<AU",(  
　　sin（3π/2-α）= -cosα I .)l`y  
]+c9jY  
　　cos（3π/2-α）= -sinα =1oej1_`  
z|,vh4*  
　　tan（3π/2-α）= cotα /m?OGfH0  
;:$kf|  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]rv!5EwBZ(  
ePo!Jw?d  
　　(以上k∈Z) gP[t<[R  
\VTc@  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 VCq2b|CwB  
55{G,E  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = =;1M%a   
jW++k#`   
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (} Ll5_K  
C[ dtNw  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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